常微分方程式

常微分方程式（じょうびぶんほうていしき、英: ordinary differential equation, O.D.E.）とは、微分方程式の一種で、未知関数が本質的にただ一つの変数を持つものである場合をいう。すなわち、変数 t の未知関数 x(t) に対して、（既知の）関数 F を用いて

F(t,x(t),x^{(1)}(t),\dots ,x^{(n)}(t))=0\quad \left(x^{(k)}(t):={\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} t^{k}}}x(t),\,\mathrm {for} ~\,k=0,1,\dots ,n\right)

という形にできるような関数方程式を常微分方程式と呼ぶ。x^(k)(t) は未知関数 x(t) の k 階の導関数である。未知関数が単独でない場合には、関数の組をベクトルの記法を用いて表せば次のようになる。

{\boldsymbol {F}}(t,{\boldsymbol {x}}(t),{\boldsymbol {x}}^{(1)}(t),\dots ,{\boldsymbol {x}}^{(n)}(t))={\boldsymbol {0}}\quad \left({\boldsymbol {x}}^{(k)}(t):={\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} t^{k}}}{\boldsymbol {x}}(t),\,\mathrm {for} ~\,k=0,1,\dots ,n\right).

ここで F, x は

{\begin{aligned}&{\boldsymbol {F}}(t,{\boldsymbol {x}}(t),{\boldsymbol {x}}^{(1)}(t),\dots ,{\boldsymbol {x}}^{(n)}(t))=\left(F_{1}(t,{\boldsymbol {x}}(t),{\boldsymbol {x}}^{(1)}(t),\dots ,{\boldsymbol {x}}^{(n)}(t)),\dots ,F_{r}(t,{\boldsymbol {x}}(t),{\boldsymbol {x}}^{(1)}(t),\dots ,{\boldsymbol {x}}^{(n)}(t))\right),\\&{\boldsymbol {x}}(t)=\left(x_{1}(t),\dots ,x_{m}(t)\right)\end{aligned}}

を表す。この方程式系はしばしば連立常微分方程式と呼ばれる。

また、多くの n 階常微分方程式は次のような形に書くことができる。

x^{(n)}(t)=f(t,x(t),x^{(1)}(t),\dots ,x^{(n-1)}(t))\quad \left(x^{(k)}(t):={\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} t^{k}}}x(t),\,\mathrm {for} ~\,k=0,1,\dots ,n\right).

常微分方程式の理論およびその研究を微分方程式論という。あるいはまた関数方程式論の名で微分方程式論を指すこともある。

線型常微分方程式

常微分方程式が

{\frac {d^{n}x}{dt^{n}}} a_{n-1}(t){\frac {d^{n-1}x}{dt^{n-1}}} \cdots  a_{0}(t)x=b(t)

の形に表されるとき線型であるという。ただし、a_k(t) および b(t) はt を変数とする既知の関数である。b(t) = 0 の方程式は特に斉次 (homogeneous) な方程式と呼ばれ、そうでない方程式は非斉次 (inhomogeneous) な方程式と呼ばれる。

非線型常微分方程式

線型でない常微分方程式は非線型であると言われる。非線型方程式の解は一般に、線型方程式のそれに比べて複雑な様相を呈する。そのような例として、ローレンツ方程式やパンルヴェ方程式などがある。一方、求積法で解ける形の非線型方程式も数多く知られている。以下に例を挙げておく。

1階非線型常微分方程式

y=x{\frac {\;dy\;}{dx}} x^{n}f{\Bigl (}{\frac {\;dy\;}{dx}}{\Bigr )}.

y=x{\frac {\;dy\;}{dx}} y^{n}f{\Bigl (}{\frac {\;dy\;}{dx}}{\Bigr )}.

ここに、n は実数であり、f(·) は既知関数である。

{\frac {{d}y}{{d}x}}={\frac {\,y^{1-m}\,}{x^{1-n}}}f\!\left({\frac {\,y^{m}}{x^{n}}}\right).

　 m, n は実数，ただし，m ≠ 0，f は既知関数。

{\frac {{d}y}{{d}x}}={\frac {\,{d}A(x)\,}{{d}x}}F\!\left({\frac {y}{A(x)}}\right).

　 A(x)，F は既知関数。

{\frac {{d}y}{{d}x}}=B(x)F(y A(x))-{\frac {\,{d}A(x)\,}{{d}x}}.

　 A(x )，B(x )，F は，いずれも既知関数。

2階非線型常微分方程式

y=x{\frac {\,dy\,}{dx}} P(x)\!\left({\frac {\,d^{\,2}y\,}{dx^{2}}}\right)^{\!\!n}.

y=x{\frac {\,dy\,}{dx}} f\!\!\,\left({\frac {\,d^{\,2}y\,}{dx^{2}}}\right).

上記の P(x) と f(·) は既知関数とする。

y=x{\frac {\,dy\,}{dx}} f\!\,{\Bigl (}x^{n}{\frac {\,d^{\,2}y\,}{dx^{2}}}{\Bigr )}.

　 n は実数，ただし，n ≠ 2，f は既知関数。

x{\frac {{d}^{\,2}y}{{d}x^{2}}} (1 f(y)){\frac {{d}y}{{d}x}}=0.

　 f(y) は既知関数。

x{\frac {{d}^{\,2}y}{{d}x^{2}}} (\alpha  \gamma {}y^{n}){\frac {{d}y}{{d}x}}=0.

　　α, γ, n は実数．ただし，n ≠ −1。

{\frac {{d}^{\,2}y}{{d}x^{2}}}=f\!\left({\frac {\alpha  \beta {x} \gamma {y}}{k \ell {x} m{y}}}\right).

　　f (·) は既知関数。

\alpha ,\beta ,\gamma ,k,\ell ,m

は実数．ただし，

\gamma \ell -\beta {m}=0

。

連立常微分方程式

連立常微分方程式（simultaneous ordinary differential equations）は、 1 つの独立変数 t と複数の未知関数 x₁(t),..., x_n(t) およびその導関数により構成される複数の方程式の組である。例えば、比較的簡単な例として、t の 2 つの未知関数を x₁(t), x₂(t) とする。それらの一階の導関数を x'₁(t), x'₂(t) として、

F\left(t,x_{1},x_{2},x'_{1}(t),x'_{2}(t)\right)=0,

G\left(t,x_{1},x_{2},x'_{1}(t),x'_{2}(t)\right)=0

は一つの連立常微分方程式である。ただし、F, G は既知関数である。

一般の連立常微分方程式は、1 つの独立変数と m 個の未知関数およびその n 階の導関数を含み、複数個の常微分方程式の組になる。

F_{k}\left(t;x_{1},\dots ,x_{m};x_{1}^{(1)},\dots ,x_{m}^{(1)};\dots ;x_{1}^{(n)},\dots ,x_{m}^{(n)}\right)=0,\qquad k=1,2,\dots ,r.

ここで x_i^(j)(t) は、未知関数 x_i(t) の j 階の導関数である (i = 0, 1,..., m; j = 0, 1,..., n)。なお、連立常微分方程式を常微分方程式系（system of ordinary differential equations）と呼ぶこともある。これら r 個の常微分方程式すべてを満足する関数の組 x₁(t),..., x_m(t) をその解という。